유아 발달에 따른 수학 능력: 수세기와 연산

1. 브로디의 수 세기 발달 과정

 브로디(Baroody, 1987)의 수 세기 발달 과정은 다음과 같다. 1단계 기계적 수세기는 가장 기초적인 형태의 수세기로 유아가 몇 가지 수 명칭만을 이야기할 수 있지만, 그 순서가 수세기의 순서성과 동시에 이루어질 수 있다는 것은 이해하지 못하여 단지 수를 이야기하는 것으로 수학 영역이 아닌 언어 영역에 유사한 단계이다. 2단계 동시 발생적 수세기는 유아가 수 명칭의 순서성과 수세기 행동의 순서성을 동시에 일치시키는 단계로 1단계와 같이 언어 영역에 속하지만 단순하게 모방하는 이상의 기능을 하는 단계이다. 3단계 짚어 가며 수세기는 유아가 수 명칭을 순서대로 구술하면서 동시에  사물을 하나씩 짚어 가며 셀 수 있다. 하지만 세는 방법이 달라도 최종적으로 같은 수량을 나타낸다는 것을 아직 인식하지 못하는 단계이다. 4단계 단위별 수세기는 사물의 일부가 보이지 않아도 전체를 하나의 단위로 인식하는 수세기가 가능한 단계이다. 이는 상징적인 면이 강하며, 산수적 단위를 지각하기 시작했음을 의미한다. 5단계 기수적 수세기는 수 명칭이 이전의 수까지 포함한다는 것을 이해하는 단계이다. 따라서 세 번째 사물을 언급하는 수의 명칭뿐 아니라 둘과 하나를 포함한다는 포함관계를 이해하고 사용한다. 6단계 서수적 수세기는 기수적 단계의 이중 의미를 이해하여 중간 단계부터 셀 수 있게 되는 단계이다. 이는 열 개의 사물 중 일곱 번째 사물부터 수세기를 시작할 때 그것을 하나, 여덟 번째 사물을 둘, 아홉 번째 사물은 셋으로 세는 기수적 수세기와 동시에 또다른 형태의 수세기가 가능한 것이다. 마지막 7단계 비형식적 연산은 구체적인 사물을 이용하여 수세기를 통한 더하기와 빼기의 문제를 해결하는 단계이다. 연령이 증가함에 따라 합리적인 수세기 능력이 증가한다. 

2. 겔만과 갈리스텔의 합리적 수세기의 원리

 겔만과 갈리스텔의 합리적 수세기의 원리는 다음과 같다. 첫째, 일대일 대응의 원리로 물체 하나에 한 번씩만 수단어를 말해야 한다는 원리이다. 둘째, 안정된 순서의 원리로 성인이 사용하는 수의 명칭을 안정된 순서로 정확히 말해야 한다는 원리이다. 셋째, 기수의 원리로 마지막 물체에 적용된 수의 명칭이 전체 물체의 개수를 나타낸다는 원리이다. 넷째, 순서 무관의 원리로 물체의 수를 셀 때는 어떤 물체를 먼저 세거나, 어떤 방향으로 수를 세어도 수는 변하지 않는다는 원리이다. 다섯째, 추상화의 원리는 수세기의 대상과 관계있는 것으로 세어야 할 대상이 반드시 서로 동일할 필요가 없으며, 물체가 아닌 경험이나 사건과 같이 정신적인 실체도 수세기가 가능하다는 원리이다.  

3. 수의 관계를 이해 방법 

 유아 발달에 따른 수학 능력은 수의 관계를 이해하는 방법에 큰 영향을 받으며, 수의 관계를 이해하는 방법의 내용은 다음과 같다. 첫째, 즉지하기는 수량을 세기 전에 집합을 보면서 수량을 세지 않고 보면서 즉각적으로 집합의 총수를 아는 것이다. 둘째, 어림하기는 정확한 총수는 아니지만 합리적인 추측으로 실제 총수에 가까운 전체 수량을 알아내는 것이다. 셋째, 수량비교는 유아가 수량을 비교하여 수량이 같거나, 더 많거나, 더 적은 것을 아는 것이다. 마지막으로 넷째, 부분-전체 알기는 특정한 양이 두 개 혹은 그 이상의 부분들로 이루어져 있음을 아는 것이다.   

4. 수의 연산

 더하기와 빼기와 같은 수의 연산은 수 개념을 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 연산에는 더하기, 빼기, 곱셈, 나눗셈이 있으며 내용은 다음과 같다. 더하기는 두 집합의 물체를 모두 세는 구체적 물체로 세기와 구체적 물체가 없을 때 손가락으로 대신 세는 과도기가 있다. 또한 첫 번째 수 다음부터 세는 첫수부터 이어세기와 두 수 중 큰 수 다음부터 계속 세는 큰 수부터 세기가 있다. 첫수부터 이어세기와 큰 수부터 세기는 정신적 세기라고 한다. 빼기는 구체적 물체로 세기와 정신적 세기로 구분된다. 구체적 물체로 세기는 구체적 물체를 사용하여 덜어내고 세기, 감수에서 피감수까지 더해가기이다. 정신적 세기는 감수에서 피감수까지 세어 오르기, 피감수에서 감수까지 거꾸로 세기가 있다. 곱셈은 묶어세기로 물체를 셋씩, 넷씩 묶어서 세는 방법이다. 곱셈에는 수의 이름을 기억하는 수 세기, 묶음 안에 동일한 물건이 있음을 이해하는 내면적 수 세기, 묶음의 수를 세는 묶음 수 세기 등의 과정이 포함된다. 나눗셈은 물체의 집합을 똑같은 크기의 부분으로 나누는 과정으로 양의 동일 여부와 상관없이 마구 집어 나누어주는 덤핑전략과 한 사람에게 하나씩 주고 다시 하나씩 주는 것을 반복해서 분배하는 중복전략이 있다. 유아는 덧셈보다 뺄셈 과정에서 더 많은 어려움을 느끼고 실수를 한다. 이는 빼기를 위해 거꾸로 수세기를 해 내려오는 경험이 증가되는 수세기를 하는 경험보다 드물기 때문이다. 또한 빼기는 수단어의 나열을 거꾸로 짚어가야 하는 것이 어렵고, 세는 단어의 수를 기억해야 하는 것은 복잡한 과정이기 때문이다. 따라서 유아기에는 구체물을 통해 더하고 빼는 경험을 할 수 있는 충분한 기회를 제공해야 한다.